This extends previous results over an algrebraic closed field. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Thus, one corollary of my results is that the weak asymmetric version of a CAT(0) metric (initially defined by Mladen Bestvina) is strictly weaker than the traditional version. These negative results are particularly striking since Ruth Charney, John Meier and Kim Whittlesey have shown that a particular complex closely related to each Brady-Krammer complex admits an asymmetric metric satisfying a weak version of non-positive curvature. The proofs of my main theorems involve a combination of combinatorial results and computer calculations. These are the first negative results known about the curvature of these Brady-Krammer complexes. The main results of my dissertation show that this pattern does not extend to the Brady-Krammer complexes of type F4 and D4. In every instance, the metrics assigned respect all of the symmetries alluded to above. Similarly, the 4dimensional Brady-Krammer complexes of type A4 and type B4 also support such metrics. More specifically, the Brady-Krammer complexes of dimension at most 3 have been shown to support piecewise Euclidean metrics of non-positive curvature. Prior work on the relationship between the Brady-Krammer complexes and the theory of CAT(0)spaces has produced some positive results in low-dimensions. The Brady-Krammer complexes are highly symmetric objects. In particular, for each Artin group of finite type, there is a recently constructed finite simplicial Eilenberg-Mac Lane space known as its Brady-Krammer complex. My dissertation focuses on the existence of metrics of non-positive curvature for the simplicial complexes constructed recently by Tom Brady and Daan Krammer for the braid groups and other Artin groups of finite type.
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